Question

已知函数f（x）=

mx2+(m-3)x+1

的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是（　　）

• A、m=1或m=9
• B、1≤m≤9
• C、m≥9或m≤1
• D、0≤m≤1或m≥9

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：f（x）=

mx2+(m-3)x+1

的值域是[0，+∞），则mx²+（m-3）x+1能取到一切非负实数，分m=0，m＜0，m＞0三种情况讨论即可．

解答： 解：当m=0时，f（x）=

mx2+(m-3)x+1

的值域是[0，+∞），满足条件；
当m＜0时，f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；
当m＞0时，f（x）的被开方数是二次函数，
△≥0，即（m-3）²-4m≥0，
∴m≤1或 m≥9，
综上，0≤m≤1或m≥9，
∴实数m的取值范围是：0≤m≤1或m≥9．
故选D．

点评：该题考查函数恒成立、二次函数的性质，考查学生对问题的分析理解能力与转化能力．