Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b，（a，b∈R）
（1）若函数y=f（x）的图象切x轴于点（2，0），求a．b的值；
（2）设函数y=f（x）（x∈（0，1）） 的图象上任意一点的切线斜率为k，试求|k|≤1的充要条件；
（3）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线斜率小于1，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，令f′（2）=0，f（2）=0，即可得到a，b；
（2）求出导数，对任意的x∈（0，1），|k|≤1，即|-3x²+2ax|≤1对任意的x∈（0，1）恒成立，运用参数分离，
等价于3x-

1

x

≤2a≤

1

x

+3x对任意的x∈（0，1）恒成立．令g（x）=

1

x

+3x，h（x）=3x-

1

x

，分别求出g（x），h（x）的最小值和最大值，解不等式即可得到；
（3）求出f（x）图象上任两点的斜率，列出不等式，化简整理，再令F（x）=f（x）-x，求出导数，再由二次函数的性质，得到判别式不大于0，解得即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=-x³+ax²+b的导数为：
f′（x）=-3x²+2ax，
由于函数y=f（x）的图象切x轴于点（2，0），
则f′（2）=0，即有-12+4a=0，解得，a=3，
f（2）=0，即有-8+3×4+b=0，解得，b=-4．
解得，a=3，b=-4；
（2）k=f′（x）=-3x²+2ax（0＜x＜1），
对任意的x∈（0，1），|k|≤1，即|-3x²+2ax|≤1对任意的x∈（0，1）恒成立，
等价于3x-

1

x

≤2a≤

1

x

+3x对任意的x∈（0，1）恒成立．
令g（x）=

1

x

+3x，h（x）=3x-

1

x

，
则

1

2

h（x）_max≤a≤

1

2

g（x）_min，x∈（0，1），
由于

1

x

+3x≥2

3

，当且仅当x=

3

3

时“=”成立，g（x）_min=2

3

，
h（x）=3x-

1

x

在（0，1）上为增函数，h（x）_max＜2，
则1≤a≤

3

；      
（3）设x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜1，
不妨设x₁＜x₂，则f（x₂）-x₂＜f（x₁）-x₁，
令F（x）=f（x）-x，则F（x）为R上的减函数，
则F′（x）=-3x²+2ax-1≤0对x∈R恒成立，
即3x²-2ax+1≥0对x∈R恒成立，
即△≤0，即4a²-12≤0，
则有-

3

≤a≤

3

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题转化为求最值，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．