Question

19．对任意复数z=x+yi（x、y∈R），定义g（z）=3^x（cosy+isiny）．
（1）若g（z）=3，求相应的复数z；
（2）计算g（2+$\frac{π}{4}$i），g（-1+$\frac{π}{4}$i），g（1+$\frac{π}{2}$i）并构造它们之间的一个等式，由此发现一个更一般的等式，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由新定义得$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}•cosy=3}\\{{3}^{x}siny=0}\end{array}\right.$，由此能求出相应的复数z．
（2）分别求出g（2+$\frac{π}{4}i$i）、g（-1+$\frac{π}{4}$i）和g（1+$\frac{π}{2}$i），由此能求出g（2+$\frac{π}{4}$i）•g（-1+$\frac{π}{4}$i）=g（1+$\frac{π}{2}$i）．由此发现一个更一般的等式为：g（b+2kπ）=g（b），利用三角函数性质进行证明．

解答 解：（1）∵对任意复数z=x+yi（x、y∈R），定义g（z）=3^x（cosy+isiny），g（z）=3，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}•cosy=3}\\{{3}^{x}siny=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{cosy=1}\\{{3}^{x}=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2kπ，k∈Z}\end{array}\right.$，
∴z=1+2kπi，k∈Z．
（2）∵g（2+$\frac{π}{4}i$i）=9（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$i），
g（-1+$\frac{π}{4}$i）=$\frac{1}{3}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$i），
g（1+$\frac{π}{2}$i）=3i，
∴g（2+$\frac{π}{4}$i）•g（-1+$\frac{π}{4}$i）=g（1+$\frac{π}{2}$i）．
由此发现一个更一般的等式为：g（b+2kπ）=g（b）．
证明如下：
∵$\left\{\begin{array}{l}{cos（b+2kπ）=cosb}\\{sin（b+2kπ）=sinb}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{a}cos（b+2kπ）={3}^{a}cosb}\\{{3}^{a}sin（b+2kπ）={3}^{a}sinb}\end{array}\right.$，
∴g（b+2kπ）=g（b）．

点评 将复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的一种重要思想方法，而实现转化的桥梁是复数相等的条件．此外本题涉及到三角函数的运算．