Question

【题目】对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称有“※点”。

（1）判断函数在上是否有“※点”。并说明理由；

（2）若函数在上有“※点”，求正实数a的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）令，利用零点存在定理，判断端点处的函数值是否异号即可；

（2）若函数在（0，+∞）上有“※点”，只需方程在该区间上有实根，然后将对数方程化为二次方程，借助于二次函数的性质可以解决．

（1）由题意知，令，则为g（x）的零点，因为，所以，由零点存在定理可知，函数在区间上至少有1个实根，即至少有1个实根，

所以函数在上有“※点”。

（2）若函数在上有“※点”，则存在实数，使得成立，即，

整理得，。

当a=2时，，不合题意

当时，令，则在上有零点。

当时，开口向下，对称轴，在上单调递减，，

所以在上恒小于零，不合题意，当时，开口向上，对称轴，

由题意只要，即，解得。因为，所以.综上所述：。