Question

14．设二次函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）．
（1）当b=1时，求函数f（x）在[-1，1]上的值域；
（2）若方程f（x）=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得$|{f（k）}|≤\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[-1，1]的关系，求出函数的最值即可；
（2）设m＜x₁＜x₂＜m+1，m为整数．分类讨论k的存在性，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）当b=1时，f（x）=（x+$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，
当a≤-2时，函数f（x）在[-1，1]上递减，则函数的最大值为：f（-1）=-a；最小值为：f（1）=a．
函数f（x）在[-1，1]上的值域：[a，-a]．
当0＜a≤2时，即有-1≤-$\frac{a}{2}$＜0，函数的最小值：f（-$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$；最大值为：f（1）=2+a．
函数f（x）在[-1，1]上的值域：[1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，2-a]．
当-2＜a≤0时，0≤-$\frac{a}{2}$＜1，函数f（x）的最小值为：f（-$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$；最大值为：f（-1）=2-a．
函数f（x）在[-1，1]上的值域：[1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，2+a]．
当a＞2时，$-\frac{a}{2}$＜-1，函数f（x）在[-1，1]上递减，
则函数的最小值为：f（-1）=-a；最大值为：f（1）=a．
函数f（x）在[-1，1]上的值域：[-a，a]．…（6分）
（2）设m＜x₁＜x₂＜m+1，m为整数．
则△=a²-4b＞0，即b＜$\frac{{a}^{2}}{4}$，
①当-$\frac{a}{2}$∈（m，m+$\frac{1}{2}$]，即-1≤a+2m＜0时，
f（m）=m²+am+b＜m²+am+$\frac{{a}^{2}}{4}$=（m+$\frac{a}{2}$）²≤$\frac{1}{4}$；
②当-$\frac{a}{2}$∈（m+$\frac{1}{2}$，m+1），即-2＜a+2m＜-1时，
f（m+1）=（m+1）²+a（m+1）+b＜（m+2）²+a（m+1）+$\frac{{a}^{2}}{4}$=（m+1+$\frac{a}{2}$）²≤$\frac{1}{4}$；
综上，存在整数k，使得|f（k）|≤$\frac{1}{4}$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分类讨论思想，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．