Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．
（1）若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$都是单位向量，求|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$垂足，求|$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 （1）若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$都是单位向量，根据向量数量积和模长的关系即可求|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$垂足，得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$）=0，结合数量积的定义建立方程即可求|$\overrightarrow{b}$|．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$都是单位向量，
则|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=4|$\overrightarrow{a}$|²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=4×1²+4×1×1×cos60°+1²=4+2+1=7，
则|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$．
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$垂足，
则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$）=0
即2|$\overrightarrow{a}$|²-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-5|$\overrightarrow{b}$|²=0，
∵|$\overrightarrow{a}$|=2，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．
∴2×2²-3×2|$\overrightarrow{b}$|cos60°-5|$\overrightarrow{b}$|²=0，
即8-3|$\overrightarrow{b}$|-5|$\overrightarrow{b}$|²=0．
得|$\overrightarrow{b}$|=1或|$\overrightarrow{b}$|=-$\frac{8}{5}$（舍），故|$\overrightarrow{b}$|=1

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据定义建立方程关系是解决本题的关键．