Question

若函数都在区间上有定义，对任意，都有成立，则称函数为区间上的“伙伴函数”
（1）若为区间上的“伙伴函数”，求的范围。
（2）判断是否为区间上的“伙伴函数”？
（3）若为区间上的“伙伴函数”，求的取值范围

Answer 1

（1）；（2）它们是“伙伴函数”；（3）。

试题分析：（1）由已知：
所以，解出：，从而
（2）由已知：，其中
由二次函数的图像可知：当时，
所以恒成立，所以它们是“伙伴函数”
（3）由已知：在时恒成立。
即：在时恒成立，分离参数可得：
在时恒成立，所以
函数在时单调递增，所以其最大值为
函数为双勾函数，利用图像可知其最小值为 所以。
点评：难题，本题以新定义函数的形式，重点考查指数函数、对数函数及二次函数的性质，恒成立问题解法。对于“恒成立问题”往往转化成求函数的最值问题。本题利用了“分离参数法”。