Question

斜率为k的直线过点P（0，1），与双曲线3x²-y²=1交于A，B两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求k的值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，直线的方程为y=kx+1；与3x²-y²=1联立消y得，（3-k²）x²-2kx-2=0；利用二次方程的根与系数的关系求解．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0；从而求解．

解答： 解：（1）由题意，直线的方程为y=kx+1；
与3x²-y²=1联立消y得，
（3-k²）x²-2kx-2=0；
则；

3-k2≠0 (2k)2-4(3-k2)×2＞0

；
解得-

6

＜k＜-

3

或-

3

＜k＜

3

或

3

＜k＜

6

；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0；
而x₁+x₂=

2k

3-k2

，x₁x₂=

-2

3-k2

；
故y₁y₂=1；
故1+

-2

3-k2

=0，
解得，k=±1．

点评：本题考查了双曲线的性质应用，属于基础题．