Question

12．在△ABC中，A=$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{BC}$²，|$\overrightarrow{AB}$|=1．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设三角形的三边为a，b，c，由余弦定理可得，a²=b²+1-$\sqrt{3}$b，①，由数量积的运算可得b=$\sqrt{3}$a²，②，由①②求出a，b，再分别求出B的大小，
（Ⅱ）根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）设三角形的三边为a，b，c，
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA，
∵A=$\frac{π}{6}$，|$\overrightarrow{AB}$|=1．
∴a²=b²+1-$\sqrt{3}$b，①
∵$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{BC}$²，
∴bccosA=$\frac{3}{2}$a²，
∴b=$\sqrt{3}$a²，②
由①②解得a=1，b=$\sqrt{3}$，或a=b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当a=1，b=$\sqrt{3}$，c=1时，
B=π-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{2π}{3}$，
当a=b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，
B=$\frac{π}{6}$
∴B=$\frac{2π}{3}$或B=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）由三角形的面积公式，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA，
当c=1，b=$\sqrt{3}$时，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$1×\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
当c=1，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题．