Question

10．已知函数f（x）=x²+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤-4或a≥0}．

Answer 1

分析 函数f（x）=x²+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点?函数f（x）在（0，1）内单调?函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．

解答 解：函数f（x）=x²+2x+alnx在区间（0，1）内无极值?函数f（x）=x²+2x+alnx在区间（0，1）内单调
?函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．
由f′（x）=2x+2$+\frac{a}{x}$≥0在（0，1）内恒成立
?a≥（-2x-2x²）_max，x∈（0，1）．即a≥0，
由f′（x）=2x+2$+\frac{a}{x}$≤0在（0，1）内恒成立
?a≤（-2x-2x²）_min，x∈（0，1）．即a≤-4，
故答案为：a≤-4或a≥0．
故答案为：{a|a≤-4或a≥0}．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分离参数法、函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．