Question

17．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c且sinC+cosC=1-sin$\frac{C}{2}$．
①求cosC；  
 ②若a²+b²=2（2a+$\sqrt{7}$b）-11，求c边．

Answer 1

分析 ①根据三角函数的倍角公式进行化简即可．
②由a²+b²=2（2a+$\sqrt{7}$b）-11利用配方法得a=2，b=$\sqrt{7}$，然后利用余弦定理进行求解即可．

解答 解：①∵sinC+cosC=1-sin$\frac{C}{2}$，
∴2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$+1-2sin²$\frac{C}{2}$=1-sin$\frac{C}{2}$，
即2sin$\frac{C}{2}$（sin$\frac{C}{2}$-cos$\frac{C}{2}$）=sin$\frac{C}{2}$，
∵sin$\frac{C}{2}$≠0，∴sin$\frac{C}{2}$-cos$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，
平方得1-sinC=$\frac{1}{4}$，则sinC=$\frac{3}{4}$，
∵$\frac{π}{4}$＜$\frac{C}{2}$＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{2}$＜C＜π，
则cosC=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
②若a²+b²=2（2a+$\sqrt{7}$b）-11，
即（a-2）²+（b-$\sqrt{7}$）²=0，
则a-2=0且b-$\sqrt{7}$=0，则a=2，b=$\sqrt{7}$，
则c²=4+7-2×2×$\sqrt{7}$×（-$\frac{\sqrt{7}}{4}$）=18，
则c=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据三角函数的倍角公式以及余弦定理是解决本题的关键．考查学生的计算能力．