Question

18．若函数f（x）满足：存在T∈R，T≠0，对定义域内的任意x，f（x+T）=f（x）+f（T）恒成立，则称f（x）为T函数．现给出下列函数：①y=$\frac{1}{x}$； ②y=e^x；③y=1nx；④y=sinx．其中为T函数的序号是④．（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析 推导出f（0）=0；f（T）是常数．若f（T）＞0，则函数是增函数；若f（T）=0，则函数是周期函数；若f（T）＜0，则函数是减函数．由此能求出结果．

解答 解：函数f（x）满足：存在T∈R，T≠0，对定义域内的任意x，
f（x+T）=f（x）+f（T）恒成立，
令x=0，可得：f（0+T）=f（0）+f（T），∴f（0）=0；f（T）是常数．
若f（T）＞0，则函数是增函数；
若f（T）=0，则函数是周期函数；
若f（T）＜0，则函数是减函数；
在①中，y=$\frac{1}{x}$，x=0函数没有意义，
在定义域内，不是增函数、减函数、周期函数，故①不正确； 
在②中，y=e^x，f（0）=1≠0，故②不正确；
在③中，y=lnx，x=0函数没有意义，函数是增函数，
但是从变化趋势看不是线性关系，故③不正确；
在④中，y=sinx，f（0）=0，并且函数是周期函数，符合题意，故④正确．
故答案为：④．

点评 本题考查T函数的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．