Question

8．（1）已知一圆过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长4$\sqrt{3}$的圆，求圆的方程；
（2）求圆心在直线x+y=0上，且过两圆x²+y²-2x+10y-24=0与x²+y²+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设圆心C的坐标为（a，b），可得（a-4）²+（b+2）²=（a+1）²+（b-3）² ①，（a-4）²+（b+2）²=12+a² ②．解①、②组成的方程组求得ab的值，可得圆的半径，从而求得圆的方程；
（2）可利用弦的垂直平分线过圆心，先求出弦的中垂线方程，以及由已知直线x+y=0过圆心，联立方程组可求得圆心坐标，进而求出圆的方程．

解答 解：（1）设圆心C的坐标为（a，b），则由CP=CQ，可得（a-4）²+（b+2）²=（a+1）²+（b-3）² ①．
再根据圆在y轴上截得的线段长为4$\sqrt{3}$，可得（a-4）²+（b+2）²=12+a² ②．
由①②求得 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=4}\end{array}\right.$．
当$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，圆的半径为$\sqrt{13}$； 当 $\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=4}\end{array}\right.$，半径为$\sqrt{37}$．
故所求的圆的方程为 （x-1）²+（y-0）²=13，或（x-5）²+（y-4）²=37．
（2）将两圆的方程联立得方程组，解方程组求得两圆的交点坐标A（-4，0），B（0，2）．
弦AB的中垂线为2x+y+3=0，
它与直线x+y=0交点（-3，3）就是圆心，又半径r=$\sqrt{10}$，
故所求圆的方程为（x+3）²+（y-3）²=10．

点评 本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆相交的性质，求出圆心的坐标，是解题的关键，属于中档题．