Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过点A（-a，0），B（0，b）的直线的倾斜角为

π

6

，原点到该直线的距离为

2

2

，
（1）求椭圆的方程；
（2）直线y=kx+2与椭圆交于P，Q两点，点S是P，Q两点的中点，问是否存在实数k，使得k_SO•k_PQ为一个定值，若存在，请证明，若不存，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用两点连线的斜率公式及点到直线的距离公式列出椭圆的三个参数a，b，c的关系，通过解方程求出a，b，c的值，写出椭圆的方程．
（2）设出直线的方程将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出S的坐标，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵过点A（-a，0），B（0，b）的直线的倾斜角为

π

6

，原点到该直线的距离为

2

2

，
∴

b

a

=

3

3

，

1

2

ab=

1

2

•

2

2

•

a2+b2

，
∴a=

3

，b=1，
∴椭圆方程是：

x2

3

+y2=1；
（2）将y=kx+2代入椭圆方程，消去y，可得（3k²+1）x²+12kx+9=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-12k

3k2+1

，x₁x₂=

9

3k2+1

，
∴S（

-6k

3k2+1

，

2

3k2+1

），
∴k_SO•k_PQ=

2 3k2+1

-6k 3k2+1

•k=-

1

3

，
△=144k²-36（3k²+1）＞0，∴k＞1，或k＜-1，
∴k＞1，或k＜-1时，k_SO•k_PQ为一个定值-

1

3

．

点评：求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的关系问题，一般将直线的方程与圆锥曲线方程联立得到二次方程，再利用根与系数的关系找突破口．