Question

已知a＞1，且函数y=a^x与函数y=log_ax的图象有且仅有一个公共点，则此公共点的坐标为

 

．

Answer 1

考点：反函数

专题：函数的性质及应用

分析：y=a^x与y=log_ax两个函数互为反函数，它们的图象关于y=x对称，要使两个函数图象有且只有一个公共点时，则它们y=x是两个函数的共同的切线．设两个函数相切时的切点坐标为M（x₀，y₀），由于曲线y=a^x在M处的切线斜率为1，所以ax0=x₀，由此能求出结果．

解答： 解：∵y=a^x与y=log_ax两个函数互为反函数，它们的图象关于y=x对称，
∴要使两个函数图象有且只有一个公共点时，则它们y=x是两个函数的共同的切线．
设两个函数相切时的切点坐标为M（x₀，y₀），由于曲线y=a^x在M处的切线斜率为1，
∴ax0=x₀，且函数y=a^x的导数为y′=f′（x₀）=ax0lna=1，
即

ax0=x0 ax0lna=1

，∴

ax0=x0 1 lna =x0

，
则a

1

lna

=

1

lna

，两边取对数得lna 

1

lna

=ln

1

lna

=1，
解得e=

1

lna

，所以lna=

1

e

，即a=e

1

e

，此时x₀=e．
∴y₀=x₀=e，
∴此公共点的坐标为（e，e）．
故答案为：（e，e）．

点评：本题考查两函数的公共点的坐标的求法，是中档题，解题时要注意y=a^x与y=log_ax两个函数互为反函数，它们的图象关于y=x对称的性质的合理运用．