Question

三对夫妇排成一排照相，则每对夫妇互不相邻的排法有（　　）

• A、80种
• B、160种
• C、240种
• D、320种

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：排列组合

分析：第一类：均不相邻的插入，第二类：第一次插入不相邻，第二相邻插入，第三次插入相邻的夫妻之间，第三类：第一次插入相邻，第二次两个同时插入相邻的夫妻之间，第四类：第一次插入相邻，第二次两个之一插入相邻的夫妻之间，根据分类计数原理可得答案．

解答： 解：解法一（直接法）：三对夫妻排成一排，丈夫不与自己的妻子相邻的排法，分为如下四类：
第一类：均不相邻的插入
①先让三个女士站，有6种站法；
②插入丈夫甲不在自己妻子的两侧，有2种插法；
③插入丈夫乙不在自己妻子的两侧，有3种插法；
④插入丈夫丙不在自己妻子的两侧，有4种插法．
∴共有6×2×3×4=144种站法．
第二类：第一次插入不相邻，第二相邻插入，第三次插入相邻的夫妻之间
①先让三个女士站，有6种站法；
②插入丈夫甲不在自己妻子的两侧，有2种插法；
③插入丈夫乙在自己妻子的两侧，有2种插法；
④插入丈夫丙在乙夫妻之间，有1种插法．
∴共有6×2×2×1=24种站法．
第三类：第一次插入相邻，第二次两个同时插入相邻的夫妻之间
①先让三个女士站，有6种站法；
②插入丈夫甲在自己妻子的两侧，有2种插法；
③插入丈夫乙丙在甲夫妻之间，有2种插法；
∴共有6×2×2=24种站法．
第四类：第一次插入相邻，第二次两个之一插入相邻的夫妻之间
①先让三个女士站，有6种站法；
②插入丈夫甲在自己妻子的两侧，有2种插法；
③插入丈夫乙丙中的一人在甲夫妻之间，有2种插法；
④插入丈夫乙丙的另一人不在自己妻子的两侧，也不在甲夫妻之间，有2种插法．
∴共有6×2×2×2=48种站法．
综上，三对夫妻排成一排，丈夫不与自己的妻子相邻的排法共有144+24+24+48=240种
解法二：（剔除法）三对夫妻排成一排，丈夫不与自己的妻子相邻的排法，先计算无条件的所有站法6！=720．再去掉不符合条件的如下三类：
第一类：恰三对夫妻都相邻
①捆绑甲夫妻，有2种方法；
②捆绑乙夫妻，有2种方法；
③捆绑丙夫妻，有2种方法；
④三对夫妻排序，有3！=6种插法．
∴共有2×2×2×6=48种站法．
第二类：恰有两对夫妻各自相邻
①先确定哪两对夫妻相邻，有3种方法；
②将这两对夫妻分别捆绑并排序，有2×2×2=8种方法；
③将另一对夫妻两个分别插入到上面的排序间隔或两端，有3×2=6种插法；
∴共有3×8×6=144种站法．
第三类：恰有一对夫妻相邻
　情况（1）
①先确定哪一对夫妻相邻（叫第一对），并捆绑，有3×2=6种方法；　
②将上面的“梱”与另两对夫妻的2个丈夫进行排序，有3！=6种排法；
③插入一个妻子在自己丈夫的两边（叫第二对），最后一个妻子放到第二对夫妻之间，有2×1=2种插法；
∴共有6×6×2=72种站法．
　情况（2）
①先确定哪一对夫妻相邻，并捆绑，有3×2=6种方法；
②将上面的“梱”与另两对夫妻的2个丈夫进行排序，有3！=6种排法；
③插入一个妻子不在自己丈夫的两边，有2种插法；
④插入最后一个妻子不在自己丈夫的两边，有3种插法；．
∴共有6×6×2×3=216种站法．
∴第三类仅有一对夫妻相邻的有72+216=288种站法．
∴不符合条件三类有48+144+288=380种站法．
综上，三对夫妻排成一排，丈夫不与自己的妻子相邻的排法共有720-380=240种．
解法三：用分步法
　为便于叙述，设三对夫妻为 甲乙丙组．
①首先选择排序第一位的人，有6种选择．以下叙述中以这个人是甲组人为例．
②其次选择排序第二位的人，有4种选择．即除甲组人外，其它4个人都可以．以下叙述中以这个人是乙组为例．
③再其次，选择排序第三位的人，该人不可以是乙组人．那么有以下A、B 两种可能性：
可能性 A）：该人为甲组人．那么有1种选择．
接着选择排序第四位的人．因为前三位是 甲乙甲，所以，第四位必须是丙组人．否则就会出现丙组夫妻相邻的局面．这样排序第四位的人，有2种选择．
接着排序第五位的人必须是乙组人，有1种选择．
排序第六位的人是余下的丙组人，有1种选择．
可能性 B）：排序第三位的是丙组人．那么有2种选择．至此，前三位分别是甲、乙、丙．
接着选择排序第四位的人．可以是甲组或者乙组余留下的人，有2种选择．以这个人是甲组人为例．
接着排序第五位的人，可以选择乙组、丙组中余下的人，有2种选择．
排序第六位的人只有1种选择．
综上所述，排法总数有
　　　N=6×4×（1×2×1×1+2×2×2×1）═6×4×（2+8）=6×4×10=240种．
故排法共有144+24+24+48=240种，
故选：C

点评：本题主要考查分类计数原理，不相邻的问题采用插空和间接法，分类时要不重不漏，属于中档题．