Question

函数f（x）=

-x2-2x+3，x≤0 |2-lnx|，x＞0

，直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a，b，c，d，下列说法错误的是（　　）

• A、abcd∈[0，e⁴）
• B、a+b+c+d∈[e⁵+

  1

  e

  -2，e⁶+

  1

  e2

  -2）
• C、若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则m必有一个取值为

  13

  4

• D、若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则m取值唯一

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：做出函数f（x）=

-x2-2x+3，x≤0 |2-lnx|，x＞0

的图象，对选项进行分析，即可得出结论．

解答： 解：函数f（x）=

-x2-2x+3，x≤0 |2-lnx|，x＞0

的图象如下：

四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，则a，b是x²+2x+m-3=0的两根，∴a+b=-2，ab=m-3，∴ab∈[0，1），且lnc=2-m，lnd=2+m，∴ln（cd）=4∴cd=e⁴，∴abcd∈[0，e⁴），∴A是正确的；
由2-lnx=4得x=

1

e2

，由2-lnx=3得x=

1

e

，∴c∈（

1

e2

，

1

e

]，又∵cd=e⁴，∴a+b+c+d=c+

e4

c

-2在

1

e2

，

1

e

]是递减函数，∴a+b+c+d∈[e⁵+

1

e

-2，e⁶+

1

e2

-2），∴B是正确的；
若直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[3，4），故C正确
关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=-x+m有三个不同的交点，而直线y=-x+3 与y=-x+

15

4

均与y=f（x）有三个交点，∴m不唯一．∴D是不正确的．
故选：D．

点评：本题考查函数的图象，分段函数，零点与方程的根之间的关系，综合性较强．