Question

已知关于x的方程

3

sinx+2cos²

x

2

=a在区间（0，2π）内有两个不同的实数根，则常数a的取值范围是（　　）

• A、[-1，3]
• B、（-1，2）∪（2，3）
• C、（-1，3）
• D、[-1，2）∪（2，3]

Answer 1

考点：二倍角的正弦,函数的零点,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用倍角公式、两角和差的正弦公式、余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵

3

sinx+2cos²

x

2

=

3

sinx+1+cosx=2sin(x+

π

6

)+1，
∴sin(x+

π

6

)=

a-1

2

．
∵x∈（0，2π），∴(x+

π

6

)∈(

π

6

，

13π

6

)．
∵关于x的方程

3

sinx+2cos²

x

2

=a在区间（0，2π）内有两个不同的实数根，
∴-1＜

a-1

2

＜1且

a-1

2

≠

1

2

，解得-1＜a＜3且a≠2．
故选：B．

点评：本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、余弦函数的单调性，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．