Question

1．已知函数$f（x）=\frac{{1+a{x^2}}}{x+b}$的图象经过点（1，3），并且g（x）=xf（x）是偶函数．
（1）求实数a、b的值；
（2）用定义证明：函数g（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）根据g（-x）=g（x）恒成立得出b的值，将（1，3）代入f（x）解出a；
（2）设x₂＞x₁＞1，化简g（x₂）-g（x₁）并判断符号得出g（x₂）与g（x₁）的大小关系．

解答 解：（1）∵函数$g（x）=xf（x）=\frac{{x+a{x^3}}}{x+b}$是偶函数，则g（-x）=g（x）．
∴$\frac{{-x-a{x^3}}}{-x+b}$=$\frac{{x+a{x^3}}}{x+b}$恒成立，即x-b=x+b恒成立，
∴b=0．
又函数f（x）的图象经过点（1，3），
∴f（1）=3，即1+a=3，
∴a=2．
（2）由（1）知：g（x）=xf（x）=2x²+1．
设x₂＞x₁＞1，
则$g（{x_2}）-g（{x_1}）=2x_2^2+1-2x_1^2-1$=2（x₂-x₁）（x₂+x₁）．
∵x₂＞x₁＞1，∴（x₂-x₁）（x₂+x₁）＞0
∴g（x₂）＞g（x₁），
∴函数g（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了函数奇偶性与单调性的判断与证明，使用定义判断非常重要的解题方法．属于基础题．