Question

18．三棱锥D-ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（　　）

• A． 32π
• B． 36π
• C． 128π
• D． 144π

Answer 1

分析 由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出DC⊥平面ABC、△ABC的形状，取AC中点F并连BF，由线面垂直的定义和勾股定理求出BC，求出△ABC的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案．

解答 解：由三视图可得：DC⊥平面ABC且底面△ABC为正三角形，
如图所示，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，
在Rt△BCF中，BF=2，CF=2，BC=4，
在Rt△BCD中，CD=4，所以BD=4$\sqrt{2}$．
设球心到平面ABC的距离为d，
因为DC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，所以d=2，
因为△ABC的外接圆的半径为2，
所以由勾股定理可得R²=d²+2²=8，
则该三棱锥外接球的半径R=2$\sqrt{2}$，
所以三棱锥外接球的表面积是4πR²=32π，
故选A．

点评 本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义，以及几何体外接球问题，由三视图正确还原几何体、以及判断几何体位置关系是解题关键．