Question

3．现有正整数构成的数表如下：
第一行：1
第二行：12
第三行：1123
第四行：11211234
第五行：1121123112112345
…
第k行：先抄写第1行，接着按原序抄写第2行，然后按原序抄写第3行，…，直至按原序抄写第k-1行，最后添上数k．（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）．
将按照上述方式写下的第n个数记作a_n（如a₁=1，a₂=1，a₃=2，a₄=1，…，a₇=3，…，a₁₄=3，a₁₅=4，…）
（1）用t_k表示数表第k行的数的个数，求数列{t_k}的前k项和T_k；
（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用${a_{n_0}}$表示第8行中的第73个数，试求n₀和${a_{n_0}}$的值；若不是，请说明理由；
（3）令S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求S₂₀₁₇的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意先求出{t_k}的通项公式，再根据等比数列的求和公式计算即可，
（2）由${t_k}={2^{k-1}}$得第8行中共有2⁷=128个数，得到第8行中的数超过73个，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知a₇₃=a₁₀=2，即可求出答案，
（3）根据错位相减法求出得${S_{{2^n}-1}}=-n+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}+{2^n}$=2ⁿ⁺¹-n-2，再逐一展开得到S₂₀₁₇=（2¹¹-12）+（2¹⁰-11）+（2⁹-10）+（2⁸-9）+（2⁷-8）+（2⁶-7）+（2⁴-5），即可求出．

解答 解：（1）当k≥2时，t_k=t₁+t₂+…+t_k-1+1，t_k+1=t₁+t₂+…+t_k+1，
于是t_k+1-t_k=t₁，即t_k+1=2t_k，又t₂=2t₁，t₁=1
所以${t_k}={2^{k-1}}$，
故${T_k}=1+2+{2^2}+…+{2^{k-1}}={2^k}-1$．
（2）由${t_k}={2^{k-1}}$得第8行中共有2⁷=128个数，
所以，第8行中的数超过73个，
${n_0}={T_7}+73={2^7}-1+73=200$，
从而，${a_{n_0}}={a_{200}}={a_{73}}$，
由2⁶-2=63＜73，2⁷-1=127＞73，
所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知a₇₃=a₁₀=2，
所以，${a_{n_0}}=2$．
（3）由于数表的前n行共有2ⁿ-1个数，于是，先计算${S_{{2^n}-1}}$．
在前2ⁿ-1个数中，共有1个n，2个n-1，2²个n-2，…，2^n-k个k，…，2^n-1个1，
因此${S_{{2^n}-1}}=n×1+（n-1）×2+…+k×{2^{n-k}}+$…+2×2^n-2+1×2^n-1，
则$2×{S_{{2^n}-1}}=n×2+（n-1）×{2^2}+…$+k×2^k+1+…+2×2^n-1-n-2，
两式相减，得${S_{{2^n}-1}}=-n+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}+{2^n}$=2ⁿ⁺¹-n-2．
∴S₂₀₁₇=${S}_{{2}^{10}-1}$+S₉₉₄，
=${S}_{{2}^{10}-1}$+${S}_{{2}^{9}-1}$+S₄₈₃，
=${S}_{{2}^{10}-1}$+${S}_{{2}^{9}-1}$+${S}_{{2}^{8}-1}$+S₂₂₈，
=${S}_{{2}^{10}-1}$+${S}_{{2}^{9}-1}$+${S}_{{2}^{8}-1}$+${S}_{{2}^{7}-1}$+S₁₀₁，
=${S}_{{2}^{10}-1}$+${S}_{{2}^{9}-1}$+${S}_{{2}^{8}-1}$+${S}_{{2}^{7}-1}$+${S}_{{2}^{6}-1}$+S₃₈，
=${S}_{{2}^{10}-1}$+${S}_{{2}^{9}-1}$+${S}_{{2}^{8}-1}$+${S}_{{2}^{7}-1}$+${S}_{{2}^{6}-1}$+${S}_{{2}^{5}-1}$+S₇，
=（2¹¹-12）+（2¹⁰-11）+（2⁹-10）+（2⁸-9）+（2⁷-8）+（2⁶-7）+（2⁴-5）
=3986

点评 本题考查新定义的应用，以及等比数列的通项公式公式和求和公式，以及错位相减法，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题．