Question

15．设数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，记${M_n}={a_{b_1}}+{a_{b_2}}+…+{a_{b_n}}$，则{M_n}中小于2015的项的个数为（　　）

• A． 10
• B． 9
• C． 8
• D． 7

Answer 1

分析 推导出M_n=${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{4}+…+{a}_{{2}^{n-1}}$=（1+2+4+…+2^n-1）+n，再由由M_n=（1+2+4+…+2^n-1）+n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+n=2ⁿ+n-1＜2015，能求出{M_n}中小于2015的项的个数．

解答 解：∵数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
∵{b_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴b_n=2^n-1，
∵${M_n}={a_{b_1}}+{a_{b_2}}+…+{a_{b_n}}$，
∴M_n=${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{4}+…+{a}_{{2}^{n-1}}$=（1+2+4+…+2^n-1）+n，
由M_n=${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{4}+…+{a}_{{2}^{n-1}}$=（1+2+4+…+2^n-1）+n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+n=2ⁿ+n-1＜2015，
解得n＜10，
∴{M_n}中小于2015的项的个数为9．
故选：B．

点评 本题考查数列中小于2015的项的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．