Question

5．关于平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，下列结论正确的个数为（　　）
①若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$；
②若$\overrightarrow{a}$=（1，k），$\overrightarrow{b}$=（-2，6），$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，则k=-3；
③非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为30°；
④已知向量$\overrightarrow a=（1，2），\overrightarrow b=（1，1）$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是$λ＞-\frac{5}{3}$．

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 运用向量数量积的性质，即可判断①；由向量共线的坐标表示，解方程即可判断②；
运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，结合夹角公式计算即可判断③；
由向量的夹角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可判断④．

解答 解：对于①，若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，不一定有$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，可能$\overrightarrow{a}$，（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）垂直，故不正确；
对于②，若$\overrightarrow{a}$=（1，k），$\overrightarrow{b}$=（-2，6），$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，即有-2k=6，则k=-3，故正确；
对于③，非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则|$\overrightarrow{a}$|²=|$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²，
$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，
$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由夹角的范围[0°，180°），可得夹角为30°，故正确；
对于④，已知向量$\overrightarrow a=（1，2），\overrightarrow b=（1，1）$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$的夹角为锐角，
可得$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$）＞0，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$不共线，即有1+λ+2（2+λ）＞0，且2（1+λ）≠2+λ，
解得λ＞-$\frac{5}{3}$且λ≠0，故不正确．
其中正确的个数为2．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断和应用，考查向量数量积的夹角公式和向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．