Question

若关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和(

1

b

，

1

a

)，则称这两个不等式为“对偶不等式”．如果不等式x2-4

3

xcos2θ+2＜0与不等式2x²+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，且θ∈(0，

π

2

)，则θ=

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,三角函数的求值

分析：依题意知，a、b为方程x²-4

3

xcos2θ+2=0的两根，

1

a

、

1

b

为方程2x²+4xsin2θ+1=0的两根，利用韦达定理可得2sin（2θ+

π

3

）=0，θ∈（0，

π

2

），从而可求θ．

解答： 解：依题意知，a、b为方程x²-4

3

xcos2θ+2=0的两根，

1

a

、

1

b

为方程2x²+4xsin2θ+1=0的两根，
∴a+b=4

3

cos2θ，ab=2，

1

a

+

1

b

=-2sin2θ，
∵

1

a

+

1

b

=

a+b

ab

，
∴-2sin2θ=2

3

cos2θ，即

3

cos2θ+sin2θ=0，
∴2sin（2θ+

π

3

）=0，
∴2θ+

π

3

=kπ（k∈Z），
∴θ=

kπ

2

-

π

6

（k∈Z），又θ∈（0，

π

2

），
∴k=1时，θ=

π

3

．
故答案为：

π

3

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，考查方程思想与韦达定理的应用，求得sin（2θ+

π

3

）=0是关键，考查运算求解能力，属于中档题．