Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过焦点垂直于长轴的弦的弦长为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的半焦距为c，依题意$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ \frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，又a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．①当AB⊥x轴时，|AB|=$\sqrt{3}$．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=kx+m．由已知：$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得m²=$\frac{3}{4}$（k²+1）．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²-6kmx+3m²-3=0，利用|AB|²=（1+k²）$[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$，利用基本不等式的性质即可得出最大值．

解答 解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ \frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，又a²=b²+c²，
∴$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=1\end{array}\right.$，
故所求椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①当AB⊥x轴时，|AB|=$\sqrt{3}$．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=kx+m．
由已知：$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得m²=$\frac{3}{4}$（k²+1）．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²-6kmx+3m²-3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$．
∴|AB|²=（1+k²）$[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$
=（1+k²）$[\frac{36{k}^{2}{m}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{12（{m}^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}]$=$\frac{3（{k}^{2}+1）（9{k}^{2}+1）}{（3{k}^{2}+1）^{2}}$=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$≤3+$\frac{12}{2×3+6}$=4．
当且仅当$9{k}^{2}=\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$时等号成立．
当k=0时，|AB|=$\sqrt{3}$，
综上所述：|AB|_max=2．
所以，当|AB|最大时，△AOB面积取最大值s=$\frac{1}{2}×|AB{|}_{max}×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．