Question

【题目】已知椭圆： （）的左焦点与抛物线的焦点重合，直线与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切．

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线交椭圆于， 两点，线段的中点为， 的垂直平分线与轴和轴分别交于， 两点．记的面积为， 的面积为．问：是否存在直线，使得，若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得， ，由此得椭圆方程；

（Ⅱ）假设存在直线AB，使得S1=S2，由题意直线AB不能与x，y轴垂直，设直线AB的方程为（）代入整理得，由此利用韦达定理、直线垂直、三角形相似等知识，结合已知条件能求出结果．

试题解析：

（Ⅰ）由题意，得， ，即，∴，

∴所求椭圆的方程为．

（Ⅱ）假设存在直线使，显然直线不能与， 轴垂直．

∴直线的斜率存在，设其方程为（），

将其代入整理得，

设， ， ， ，

∴，

∵，∴，

解得，即，

∵，∴，∴，

即，又∵，∴，

∴，

整理得因为此方程无解，故不存在直线满足．