Question

已知函数f（x）=lnx+ax+1，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）数列{a_n}中，a₁=2，2a_n+1=a_n+1，数列{b_n}满足b_n=nlna_n，记{b_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＜4-

n+2

2n-1

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用,数列的求和

专题：导数的综合应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，再求出f（1），然后直接利用直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）由f（x）≤0恒成立分离参数a，然后构造函数g（x）=

-lnx-1

x

，由导数求其最小值，则实数a的取值范围可求；
（Ⅲ）由递推式求出数列{a_n}的通项公式，借助于函数y=x-ln（1+x）在（0，1]上单调性及不等式放缩证明T_n＜4-

n+2

2n-1

．

解答： （Ⅰ）解：由f（x）=lnx+ax+1，得f′(x)=

1

x

+a．
∴f′（1）=1+a．
又f（1）=a+1，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-a-1=（1+a）（x-1），
即y=（1+a）x；
（Ⅱ）解：函数f（x）=lnx+ax+1的定义域为{x|x＞0}，
由不等式f（x）≤0恒成立，得
lnx+ax+1＜0恒成立，即a＜

-lnx-1

x

（x＞0）恒成立．
令g（x）=

-lnx-1

x

，
则g′(x)=

-1+lnx+1

x2

=

lnx

x2

，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当x＞1时，g′（x）＞0．
∴g（x）_min=g（1）=-1．
∴使不等式f（x）≤0恒成立的a的取值范围是（-∞，-1）；
（Ⅲ）证明：∵a₁=2，2a_n+1=a_n+1，
∴2（a_n+1-1）=a_n-1，
则数列{a_n-1}是以a₁-1=1为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
∴an-1=(

1

2

)n-1，即an=1+(

1

2

)n-1．
下面证明当0＜x≤1时，x-ln（1+x）＞0，
设y=x-ln（1+x），则y′=1-

1

1+x

，
∵对于任意x∈（0，1]均有y′＜0，
∴y=x-ln（1+x）在（0，1]上单调递减，
∵当x=1时y=x-ln（1+x）=1-ln2＞0，
∴当0＜x≤1时，x-ln（1+x）＞0．
记Cn=n•(

1

2

)n-1，Sn=

n

i=1

Ci，
显然有bn=n•ln[1+(

1

2

)n-1]＜n•(

1

2

)n-1=C_n．
∴Tn=

n

i=1

bi＜

n

i=1

Ci=Sn，
∵Sn=

n

i=1

Ci=

n

i=1

i(

1

2

)i-1，
而对任意n∈N^*都有2-

2

2n-1

≥0，
∴T_n＜S_n=4-

n+2

2n-1

．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了利用放缩法证明数列不等式，综合考查了学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力，是压轴题．