Question

设数列{a_n}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数M，使得当n＞M时，恒有|a_n-a|＜q成立，就称数列{a_n}为收敛数列，且收敛于a．则下列结论中，正确的是

 

①等差数列{a_n}一定不是收敛数列；
②等比数列的公比q满足|q|＜1，前n项和为S_n，则数列{S_n}收敛；
③等差数列{a_n}公差不为0，数列{

1

anan+1

}的前n项和为S_n，则数列{S_n}收敛；
④数列{a_n}的通项公式为a_n=1+

(-1)n

n

，则{a_n}不收敛．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：首先，准确理解收敛数列的概念，然后，逐个进行判断即可，对于对于①：可以举出特例，例如常数数列则符合收敛的定义；对于对于②：则可以借助于无穷小递缩等比数列的性质求解；对于③：则结合拆项法的思想求解其和，然后判断数列{S_n}的收敛情况；对于④：则利用该数列趋向于1，进行判断其收敛性．

解答： 解：对于①：
若该等差数列为常数列，则符合收敛的条件，
故①错误；
对于②：∵|q|＜1，
∴S_n=

a1(1-qn)

1-q

→

a1

1-q

，
∴数列{S_n}收敛；
对于③：等差数列{a_n}公差不为0，
设该数列的首项为a₁，公差为d，
∴a_n=a₁+（n-1）d=nd+a₁-d，
∵

1

anan+1

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)
∴Sn=

1

d

(

1

a1

-

1

a2

)+

1

d

(

1

a2

-

1

a3

)+…+

1

d

(

1

an

-

1

an+1

）
=

1

d

(

1

a1

-

1

an+1

)
∴Sn→

1

a1d

，
∴数列{S_n}收敛，
故③正确；
对于④：
∵数列{a_n}的通项公式为a_n=1+

(-1)n

n

，
∴a_n→1，
∴{a_n}收敛，
故④错误．
故答案为：②③．

点评：本题重点考查了命题的真假判断方法，同时结合数列的有关性质、数列求和思想等，属于中档题．