Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的零点为x₁，x₂（x₁＜x₂），f（x）的最小值y₀∈[x₁，x₂），则函数y=f（f（x））的零点个数是

 

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Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：如图所示，由于函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的零点为x₁，x₂（x₁＜x₂），可得△=b²-4ac＞0．由f（f（x））=af²（x）+bf（x）+c=0，利用△＞0，可得f（x）=x₁或f（x）=x₂．已知函数f（x）的最小值为y₀，且y₀∈[x₁，x₂），画出直线y=x₂．y=x₁．即可得出交点个数，进而得到函数零点的个数．

解答： 解：如图所示，
∵函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的零点为x₁，x₂（x₁＜x₂），∴△=b²-4ac＞0．
由f（f（x））=af²（x）+bf（x）+c=0，△＞0，
∴f（x）=x₁或f（x）=x₂．
∵函数f（x）的最小值为y₀，且y₀∈[x₁，x₂），
画出直线y=x₂．y=x₁．
则直线y=x₂．与y=f（x）必有两个交点，此时f（x）=x₂．
有2个实数根，即函数y=f（f（x））由两个零点．
直线y=x₁与y=f（x）可能有一个交点或无交点，
此时f（x）=x₁有一个实数根x=-

b

2a

或无实数根．
综上可知：函数y=f（f（x））的零点由2个或3个．
故答案为：2或3．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质、函数零点与图象交点的个数之间的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．