练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    13．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，点B（0，$\sqrt{3}$）是椭圆E的上顶点，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）已知M为椭圆E上的动点，若以点M为圆心，MF1为半径的圆与椭圆E的右准线有公共点，求△F1MF2面积的最大值；
    （3）过点B作直线l1，l2，使l1⊥l2，设直线l1，l2分别交椭圆E于点P，Q，连接PQ，求证：直线PQ必经过y轴上的一个定点．

    分析 （1）由e=$\frac{1}{2}=\frac{c}{a}$，b=$\sqrt{3}$，a2=b2+c2，联立解出即可得出．
    （2）由椭圆的第二定义可知：|MF1|=$\frac{1}{2}{x}_{0}$+2．点M到右准线的距离d=4-x0．根据：以点M为圆心，MF1为半径的圆与椭圆E的右准线有公共点，可得|MF1|≥d，得到x0的最小值，即可得到|y0|的最大值，可得△F1MF2面积的最大值S=$\frac{1}{2}×2c×|{y}_{0}{|}_{max}$．
    （3）设直线BP、BQ的直线方程分别为：y=kx+$\sqrt{3}$，y=-$\frac{1}{k}$x+$\sqrt{3}$．分别与椭圆方程联立可得点P，Q的坐标，利用点斜式即可得出．

    解答 解：（1）∵e=$\frac{1}{2}=\frac{c}{a}$，b=$\sqrt{3}$，a2=b2+c2，联立解得：c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$．
    ∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
    （2）椭圆的左右准线分别为：x=-4，x=4，F1（-1，0），设M（x0，y0）．
    由椭圆的第二定义可知：$\frac{|M{F}_{1}|}{{x}_{0}-（-4）}=\frac{1}{2}$，化为：$\frac{1}{2}{x}_{0}$+2．
    点M到右准线的距离d=4-x0，
    ∵以点M为圆心，MF1为半径的圆与椭圆E的右准线有公共点，
    ∴|MF1|≥d，
    ∴$\frac{1}{2}{x}_{0}$+2≥4-x0，解得2≥${x}_{0}≥\frac{4}{3}$．
    ∴${y}_{0}^{2}$=3$（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$≤$3×[1-\frac{1}{4}×（\frac{4}{3}）^{2}]$=$\frac{5}{3}$，
    取|y0|的最大值$\sqrt{\frac{5}{3}}$．
    ∴△F1MF2面积的最大值S=$\frac{1}{2}×2c×|{y}_{0}{|}_{max}$=1×$\sqrt{\frac{5}{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
    （3）证明：设直线BP、BQ的直线方程分别为：y=kx+$\sqrt{3}$，y=-$\frac{1}{k}$x+$\sqrt{3}$．
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k2）x2+8$\sqrt{3}$kx=0，可得xP=-$\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，yP=$\frac{-4\sqrt{3}{k}^{2}+3\sqrt{3}}{3+4{k}^{2}}$．
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得：xQ=$\frac{8\sqrt{3}k}{3{k}^{2}+4}$，yQ=$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}-4\sqrt{3}}{3{k}^{2}+4}$．
    ∴直线PQ的方程为：y-$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}-4\sqrt{3}}{3{k}^{2}+4}$=$\frac{3（{k}^{2}-1）}{7k}$$（x-\frac{8\sqrt{3}k}{3{k}^{2}+4}）$，
    令x=0，可得y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}$．
    ∴直线PQ必经过y轴上的一个定点$（0，-\frac{\sqrt{3}}{7}）$．

    点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    3．$\frac{7}{16}$-$\frac{7}{8}$sin215°的值为（　　）
    A．$\frac{7}{32}$B．$\frac{7\sqrt{3}}{32}$C．$\frac{7}{16}$D．$\frac{7\sqrt{3}}{16}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线l：y=x+2$\sqrt{5}$与椭圆相切．
    （1）求椭圆C的标准方程；
    （2）过原点O作直线分别交椭圆C于M、N两点，过原点O作OP⊥MN，交椭圆于P，求△PMN面积的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的中心，右焦点和右顶点分别为O，F，A，右准线与x轴的交点为H，则$\frac{FA}{OH}$的最大值为$\frac{1}{4}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    8．已知点P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若|PF1|=4，则|PF2|=2．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    18．3${\;}^{lo{g}_{3}5}$+（2005）0-（$\frac{1}{4}$）${\;}^{-\frac{1}{2}}$+sin$\frac{7π}{6}$=$\frac{7}{2}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    5．化简求值：
    （1）$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$+$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$-$\sqrt{6+4\sqrt{2}}$；
    （2）2$\sqrt{3}$×$\root{3}{1.5}$×$\root{6}{12}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    2．求直线x-2y-6=0的斜率和在x轴、y轴上的截距．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，-1＜x＜0}\\{{x}^{2}，0≤x≤5}\end{array}\right.$，则f（x）的定义域是{x|-1＜x≤5}．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案