Question

4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．且经过点（0，1），C与x轴交于A，B两点，以AB为直径的圆记为C₁，P是C₁上的异于A，B的点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若PA与椭圆C交于点M，且满足|PB|=2|OM|，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，求解方程组得a=2，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由已知可得PA⊥PB，结合|PB|=2|OM|且O为AB的中点，可得OM为的△ABP中位线，且OM⊥AP．设出点M的坐标，由点在椭圆上及OM⊥AM得关于s，t的方程组，求得s，t的值，再由中点坐标公式求得点P的坐标．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）∵点P在曲线C₁上，∴PA⊥PB，
又∵|PB|=2|OM|，且O为AB的中点，
∴OM为的△ABP中位线，且OM⊥AP．
否则|PB|＜2|OM|，与|PB|=2|OM|矛盾．
设点M的坐标为（s，t），
∵点M在曲线C上，∴s²+4t²-4=0，①
∵OM⊥AM，∴（s+1）²+t²=1，②
由②得：t²=1-（s+1）²，代入①整理得：3s²+8s+4=0．
解得：$s=-\frac{2}{3}$或s=-2（舍），∴$t=±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
设点P的坐标为（x₀，y₀）
则 $\frac{{-2+{x_0}}}{2}=-\frac{2}{3}，\;\frac{y_0}{2}=±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴${x_0}=\frac{2}{3}，{y_0}=±\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$．
∴点P的坐标为$（-\frac{2}{3}，±\frac{{4\sqrt{2}}}{3}）$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆、椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．