Question

15．已知四棱锥P-ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC上一点，且BP⊥平面ADM．
（1）求PM的长度；
（2）求MD与平面ABP所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，令$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PC}$，利用BP⊥平面ADM且$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，1），求出λ，即可求PM的长度；
（2）利用向量的夹角公式求MD与平面ABP所成角的余弦值．

解答 解：（1）如图所示建立空间直角坐标系，
由已知A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，1），D（0，1，0），C（2，1，0）．
令$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PC}$，因为$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-1），所以$\overrightarrow{PM}$=（2λ，λ，-λ），
则M（2λ，λ，-λ），
因为BP⊥平面ADM且$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，1）．
所以-5λ+1=0，
则λ=$\frac{1}{5}$．即PM的长为$\frac{\sqrt{6}}{5}$．（6分）
（2）因为M（0，4，0.2，0.8），则$\overrightarrow{MD}$=（-0.4，0.2，0.8），
因为面ABP的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），令MD与平面ABP所成角为θ，
则sinθ=$\frac{0.8}{\sqrt{0.16+0.04+0.64}}$=$\frac{2}{3}$，故cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．（12分）

点评 本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．