Question

10．定义行列式$|\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\end{array}|$=a₁a₄-a₂a₃，函数g（θ）=$|\begin{array}{l}{sinθ}&{3-cosθ}\\{m}&{sinθ}\end{array}|$（其中$0≤θ≤\frac{π}{2}$）．
（1）求$g（\frac{π}{2}）$的值；
（2）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由条件可得g（θ）=sin²θ-m（3-cosθ），从而求得$g（\frac{π}{2}）$的值．
（2）根据g（θ）=-${（cosθ-\frac{m}{2}）}^{2}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+1，cosθ∈[0，1]，利用二次函数的性质，分类讨论求得当g（θ）的最大值为4时，m的值．

解答 解：（1）∵行列式$|\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\end{array}|$=a₁a₄-a₂a₃，函数g（θ）=$|\begin{array}{l}{sinθ}&{3-cosθ}\\{m}&{sinθ}\end{array}|$=sin²θ-m（3-cosθ） （其中$0≤θ≤\frac{π}{2}$）．
∴$g（\frac{π}{2}）$=${sin}^{2}\frac{π}{2}$-m（3-cos$\frac{π}{2}$）=1-3m．
（2）∵函数g（θ）=sin²θ-m（3-cosθ）=1-cos²θ+mcosθ-3m=-${（cosθ-\frac{m}{2}）}^{2}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+1．
∵$0≤θ≤\frac{π}{2}$，∴cosθ∈[0，1]．
当$\frac{1}{2}$m∈[0，1]时，可得当cosθ=$\frac{m}{2}$时，g（θ）的最大值为4，即 $\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+1=4，求得m=6+4$\sqrt{3}$ （舍去）或m=6-4$\sqrt{3}$（舍去）．
当$\frac{1}{2}$m＜0时，可得当cosθ=0时，g（θ）的最大值为1-3m=4，∴m=-1．
$\frac{1}{2}m$＞1时，可得当cosθ=1时，g（θ）的最大值为m-3m=-2m=4，∴m=-2（舍去）．
综上可得，m=-1．

点评 本题主要考查新定义，余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．