Question

14．求函数f（x）=3sin2x+8cos²x-4，x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 由题意和辅助角公式可得f（x）=5sin（2x+φ），φ=arctan$\frac{4}{3}$，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得2x+φ∈[arctan$\frac{4}{3}$，π+arctan$\frac{4}{3}$]，由正弦函数值域可得．

解答 解：由三角函数公式化简可得f（x）=3sin2x+8cos²x-4
=3sin2x+4（2cos²x-1）=3sin2x+4cos2x=5sin（2x+φ），
其中tanφ=$\frac{4}{3}$，故φ=arctan$\frac{4}{3}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x∈[0，π]，∴2x+φ∈[arctan$\frac{4}{3}$，π+arctan$\frac{4}{3}$]，
∴当2x+φ=$\frac{π}{2}$时，f（x）=5sin（2x+φ）取最大值5；
当2x+φ=π+arctan$\frac{4}{3}$时，f（x）=5sin（2x+φ）取最小值5×（-$\frac{4}{5}$）=-4．
故函数的值域为[-4，5]．

点评 本题考查三角函数求最值，涉及辅助角公式和同角三角函数基本关系，属中档题．