Question

6．设p：关于x的不等式a^x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}； q：关于x的不等式ax²-x+a＞0的解集为R．若p或q为真，“p且q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，从而判断出满足条件若p或q为真，“p且q”为假时的a的范围即可．

解答 解：若关于x的不等式a^x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，
则0＜a＜1，
故p为真时：0＜a＜1，
若关于x的不等式ax²-x+a＞0的解集为R，
a=0时，-x＞0，解集不是R，
a≠0时，显然a＞0，
则△=1-4a²＜0，解得：a＜-$\frac{1}{2}$或a＞$\frac{1}{2}$，
若p或q为真，“p且q”为假，则p，q一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥1或a≤0}\\{a＞\frac{1}{2}或a＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：0＜a≤$\frac{1}{2}$或a≥1或a＜-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了指数函数以及二次函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．