Question

【题目】已知函数（，）的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．

（1）求函数与的解析式；

（2）是否存在，使得，，按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；若不存在，说明理由．

（3）求实数a与正整数n，使得在内恰有2013个零点．

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在唯一的（3），

【解析】

(1)根据已知的周期可以得到，再根据函数的对称中心建立一个方程求得

(2)根据等差数列的条件，将问题转化为求解函数在区间内的取值范围问题，采用求导方法确定最值，从而判断是否存在满足条件的及存在的个数.

(3)由于是关于，的函数，所以它也是一个周期函数，所以可以考虑在一个周期内的取值情况，这个问题采用换元法简化计算，令，从而将转化为关于的一元二次函数，求解在一个范围内的的取值范围，然后判断存在的零点个数，最后根据的周期性可得在整个区间范围内存在的总零点个数.

（1）函数（，）的周期为，可得，

又由该图像的一个对称中心为，故，得，所以，

，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后，得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到函数，故函数；

（2）当时，，，所以，问题转化为方程在内是否有解，即在内是否有解，记，，因为在上大于0，所以，在递增，又因为，，且函数的图像连续不断，所以存在唯一的满足题意；

（3）令，现讨论函数在上零点的情况，设，，则函数的图像是开口向下的抛物线，又，，.

当时，函数有一个零点(另一个零点，舍去)，在上有两个零点，，且；

当时，函数有一个零点(另一个零点，舍去)，在上有两个零点，，且；

当时，函数有一个零点，另一个零点，在和内分别有两个零点

由正弦函数的周期性可知，当时，函数在内的零点个数总为偶数，从而不存在正整数满足题意.

当时，函数有一个零点，另一个零点；

当时，函数有一个零点，另一个零点；

从而当或时，函数在有三个零点，根据正弦函数的周期性，，所以，依题意得，

综上，当时，或时，时，函数在内恰有2013个零点