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设函数f(x)=ax+
1
x+b
(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x三角形的面积为定值,并求出此定值.
(1)f′(x)=a-
1
(x+b)2

于是
2a+
1
2+b
=3
a-
1
(a+b)2
=0
解得
a=1
b=-1
a=
9
4
b=-
8
3
因a,b∈Z,故f(x)=x+
1
x-1


(2)证明:在曲线上任取一点(x0,x0+
1
x0-1
).
由f′(x0)=1-
1
(x0-1)2
知,过此点的切线方程为y-
x20
-x0+1
x0-1
=[1-
1
(x0-1)2
](x-x0).
令x=1得y=
x0+1
x0-1
,切线与直线x=1交点为(1,
x0+1
x0-1
).
令y=x得y=2x0-1,切线与直线y=x交点为(2x0-1,2x0-1).
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).
从而所围三角形的面积为
1
2
|
x0+1
x0-1
-1|•|2x0-1-1|=
1
2
|
2
x0-1
||2x0-2|=2.
所以,所围三角形的面积为定值2.
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9
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9
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9
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9

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lim
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△x
=(  )
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