Question

7．P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1上任意一点，EF为圆N：（x-1）²+y²=4的任意一条直径，则$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的取值范围是（　　）

• A． [0，15]
• B． [5，15]
• C． [5，21]
• D． （5，21）

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{NF}$=-$\overrightarrow{NE}$化简可知$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-4，通过a-c≤|$\overrightarrow{PN}$|≤a+c，计算即得结论．

解答 解：$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=（$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NE}$）•（$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NF}$）
=（$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NE}$）•（$\overrightarrow{PN}$-$\overrightarrow{NE}$）
=${\overrightarrow{PN}}^{2}$-${\overrightarrow{NE}}^{2}$
=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-4，
∵a-c≤|$\overrightarrow{PN}$|≤a+c，即3≤|$\overrightarrow{PN}$|≤5，
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的范围是[5，21]，
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．