Question

20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F₁，P是双曲线右支上的点，若线段PF₁与y轴的交点M恰好为线段PF₁的中点，且|OM|=b，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据线段PF₁与y轴的交点M恰好为线段PF₁的中点，得到OM∥PF₂，PF₂⊥F₁F₂，结合直角三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解∵线段PF₁与y轴的交点M恰好为线段PF₁的中点，
∴OM∥PF₂，PF₂⊥F₁F₂，
∵|OM|=b，∴|PF₂|=2b，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=|PF₂|+2a=2a+2b=2（a+b），
在直角三角形PF₁F₂中，
4（a+b）²=4b²+4c²，
即（a+b）²=b²+c²，
即a²+2ab+b²=2b²+a²，
即2ab=b²，
b=2a，
则c²=a²+b²=a²+4a²=5a²，
即c=$\sqrt{5}$a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故选：D

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直径三角形的边角关系建立方程关系是解决本题的关键．