Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₁的直线l交椭圆于A，B两点，|AB|的最小值为3，且△ABF₂的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l不垂直于x轴时，点A关于x轴的对称点为A′，证明直线A′B恒过定点，并求此定点坐标．

Answer 1

分析 （1）判断AB⊥x轴时，|AB|最小，推出$\frac{{2{b^2}}}{a}=3$，利用ABF₂的周长为4a，求解a，b，得到椭圆的方程．
（2）设AB方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A'（x₁，-y₁），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求出A'B的斜率，求解直线方程，利用直线系求解直线结果的定点．

解答 解：（1）因为AB是过焦点F₁的弦，所以当AB⊥x轴时，|AB|最小，且最小值为$\frac{{2{b^2}}}{a}$，
由题意可知$\frac{{2{b^2}}}{a}=3$，再由椭圆定义知，△ABF₂的周长为4a，所以$a=2，b=\sqrt{3}$，
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
（2）设AB方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，-y₁），
则$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，化简得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$①，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$②
则${k}_{A′B}=\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，∴A′B的方程为$y+{y_1}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$．
化简有$y=\frac{{k（{x_1}+{x_2}）+2k}}{{{x_2}-{x_1}}}x-\frac{{2k{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$，
将①②代入可得$y=\frac{1}{{{x_2}-{x_1}}}（{\frac{6k}{{3+4{k^2}}}x+\frac{24k}{{3+4{k^2}}}}）=\frac{6k}{{（3+4{k^2}）（{x_2}-{x_1}）}}（{x+4}）$，
所以直线A′B恒过定点（-4，0）．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力．