Question

9．设函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若b=1，函数f（x）在[-1，1]的值域是[m，n]，求函数h（a）=n-m的表达式；
（Ⅱ）令t=b-$\frac{a^2}{4}$，若存在实数c，使得|f（c）|≤1与|f（c+2）|≤1同时成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若b=1，则$f（x）={x^2}+ax+1={（x+\frac{a}{2}）^2}+1-\frac{a^2}{4}$，结合二次函数的图象和性质，求出m，n的表达式，进而可得：函数h（a）=n-m的表达式；
（Ⅱ）$f（x）={x^2}+ax+b={（x+\frac{a}{2}）^2}+b-\frac{a^2}{4}$，结合二次函数的图象和性质分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）若b=1，则$f（x）={x^2}+ax+1={（x+\frac{a}{2}）^2}+1-\frac{a^2}{4}$，
则$m=\left\{{\begin{array}{l}{f（-1），a≥2}\\{f（-\frac{a}{2}），-2≤a≤2}\\{f（1），a≤-2}\end{array}}\right.=\left\{{\begin{array}{l}{2-a，a≥2}\\{1-\frac{a^2}{4}，-2≤a≤2}\\{2+a，a≤-2}\end{array}}\right.$，
$n=\left\{{\begin{array}{l}{f（-1），a＜0}\\{f（1），a≥0}\end{array}}\right.=\left\{{\begin{array}{l}{2-a，a＜0}\\{2+a，a≥0}\end{array}}\right.$
则$h（a）=n-m=\left\{{\begin{array}{l}{2a，a≥2}\\{\frac{a^2}{4}+a+1，0≤a＜2}\\{\frac{a^2}{4}-a+1，-2≤a＜0}\\{-2a，a＜-2}\end{array}}\right.$
（Ⅱ）$f（x）={x^2}+ax+b={（x+\frac{a}{2}）^2}+b-\frac{a^2}{4}$
（1）当$b-\frac{a^2}{4}＞1$时，$|f（x）|=f（x）≥b-\frac{a^2}{4}＞1$，不满足题意．
（2）当$0＜b-\frac{a^2}{4}≤1$，即-4≤a²-4b＜0时，
由方程|f（x）|=1，即f（x）=1，
由x²+ax+b-1=0，得${x_{1、2}}=\frac{{-a±\sqrt{{a^2}-4b+4}}}{2}$，
则当x∈[x₁，x₂]时，|f（x）|≤1，
而$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{a^2}-4b+4}＜2$，故c与c+2必然不能同时满足∈[x₁，x₂]，
故不满足题意．
（3）当$-1＜b-\frac{a^2}{4}≤0$，即0≤a²-4b＜4时，
由方程|f（x）|=1，即f（x）=1，
由x²+ax+b-1=0，得${x_{1、2}}=\frac{{-a±\sqrt{{a^2}-4b+4}}}{2}$，
则当x∈[x₁，x₂]时，|f（x）|≤1，而$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{a^2}-4b+4}≥2$，
故必然存在c与c+2同时满足∈[x₁，x₂]，
故满足题意，则$t=b-\frac{a^2}{4}∈（-1，0]$
（4）当$b-\frac{a^2}{4}≤-1$，即a²-4b≥4时，
由方程|f（x）|=1，即f（x）=±1，
由x²+ax+b-1=0，得${x_1}=\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-4b+4}}}{2}，{x_2}=\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-4b+4}}}{2}$，
由x²+ax+b+1=0，得${x_3}=\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-4b-4}}}{2}，{x_4}=\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-4b-4}}}{2}$，
当x∈[x₁，x₃]∪[x₄，x₂]时，|f（x）|≤1，
而$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{a^2}-4b+4}≥2\sqrt{2}＞2$，（有可能同时存在c与c+2满足条件）
且$|{x_1}-{x_3}|=\frac{{\sqrt{{a^2}-4b+4}-\sqrt{{a^2}-4b-4}}}{2}=\frac{4}{{\sqrt{{a^2}-4b+4}+\sqrt{{a^2}-4b-4}}}≤\sqrt{2}＜2$
则c与c+2若要满足条件，则必须满足c∈[x₁，x₃]，c+2∈[x₄，x₂]，故若同时存在c与c+2满足条件，则必须要求|x₃-x₄|≤2
而$|{x_3}-{x_4}|=\sqrt{{a^2}-4b-4}≤2$，解得a²-4b≤8，即$t=b-\frac{a^2}{4}∈[-2，-1]$
综上所述，$t=b-\frac{a^2}{4}∈[-2，0]$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．