Question

11．如图，等腰梯形ABCD的底角A等于60°，其外接圆圆心O在边AD上，直角梯形PDAQ垂直于圆O所在平面，∠QAD=∠PDA=90°，且AD=2AQ=4
（1）证明：平面ABQ⊥平面PBD；
（2）若二面角D-PB-C的平面角等于45°，求多面体PQABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直径所对圆周角为直角可得AB⊥BD，再由梯形PQAD垂直于圆O所在的平面，∠PDA=90°得PD⊥平面ABCD，进一步得到AB⊥PD，然后利用线面垂直的判定得AB⊥平面PBD，再由面面垂直的判定得平面ABQ⊥平面PBD；
（Ⅱ）过点B作射线BZ∥DP，BA，BD，BZ两两垂直．以B为原点，BA，BD，BZ所在直线分别为x，y，z轴建立坐标系，设PD=h，求出所用点的坐标，求出平面PBC的一个法向量为，结合（1）可得平面PBD的一个法向量为$\overrightarrow{BA}=（2，\;\;0，\;\;0）$，由$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{BA}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{BA}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{BA}}|}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{2\sqrt{4+\frac{12}{h^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求得得$h=\sqrt{6}$，再由多面体PQABCD是由三棱锥P-BCD和四棱锥B-ADPQ构成的组合体，分别求出两个棱锥的体积作和得多面体PQABCD的体积$V=3\sqrt{2}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

解答 （Ⅰ）证明：由题可知AB⊥BD，
∵梯形PQAD垂直于圆O所在的平面，∠PDA=90°
∴PD⊥平面ABCD，
∴AB⊥PD，
又∵BD∩PD=D，
∴AB⊥平面PBD，
∵AB?平面ABQ，
∴平面ABQ⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：如图，过点B作射线BZ∥DP，BA，BD，BZ两两垂直．
以B为原点，BA，BD，BZ所在直线分别为x，y，z轴建立坐标系，
设PD=h，则$B（0，0，0），D（0，2\sqrt{3}，0），P（0，2\sqrt{3}，h），C（-1，\sqrt{3}，0）$，
从而$\overrightarrow{BC}=（-1，\;\;\sqrt{3}，\;\;0），\overrightarrow{BP}=（0，2\sqrt{3}，h）$，
设面PBC的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，\;y，\;\;z）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BP}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{2\sqrt{3}y+hz=0}\end{array}\right.$，取y=1，则$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，\;1，\;\;-\frac{{2\sqrt{3}}}{h}）$，
由（1）已证BA⊥平面PBD，则平面PBD的一个法向量为$\overrightarrow{BA}=（2，\;\;0，\;\;0）$，
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{BA}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{BA}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{BA}}|}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{2\sqrt{4+\frac{12}{h^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得$h=\sqrt{6}$，
多面体PQABCD是由三棱锥P-BCD和四棱锥B-ADPQ构成的组合体，
${V_{B-ADPQ}}=\frac{1}{3}•\frac{{2+\sqrt{6}}}{2}•4•\sqrt{3}=2\sqrt{2}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
${V_{P-BCD}}=\frac{1}{3}•\sqrt{3}•\sqrt{6}=\sqrt{2}$，
∴多面体PQABCD的体积$V=3\sqrt{2}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角平面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，是中档题．