Question

已知m，n∈R，若关于实数x的方程x²+（m+1）x+m+n+1=0的两个实根x₁、x₂满足0＜x₁＜1，x₂＞1，则

n

m

的取值范围为（　　）

• A、（-2，-

  1

  2

  ）
• B、（-2，

  1

  2

  ）
• C、（-1，-

  1

  2

  ）
• D、（-1，

  1

  2

  ）

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：不等式的解法及应用

分析：将方程转化为函数，利用一元二次方程根的发布，转化为关于m，n的二元一次不等式组，利用线性规划的知识进行求解即可得到结论．

解答：解：设f（x）=x²+（m+1）x+m+n+1，
∵关于实数x的方程x²+（m+1）x+m+n+1=0的两个实根x₁、x₂满足0＜x₁＜1，x₂＞1，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0

，
即

m+n+1＞0 2m+n+3＜0

，作出不等式对应的平面区域如图，
设k=

n

m

，
则k的几何意义为过原点的直线的斜率，
由

m+n+1=0 2m+n+3=0

，
解得

m=-2 n=1

，即A（-2，1），此时OA的斜率k=

1

-2

=-

1

2

，
直线2m+n+3=0的斜率k=-2，
故-2＜k＜-

1

2

，
故选：A．

点评：本题主要考查不等式的取值范围，利用方程和函数之间的关系转化为函数根的分布，利用线性规划的知识是解决本题的关键．