Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）设，讨论函数的单调性；

（3）若斜率为的直线与曲线交于，两点，其中，求证：.

Answer 1

【答案】(1)；(2)时，在区间递增，时，在内递增，在内递减；(3)证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用导数的知识求解；(2)借助题设运用导数的知识求解；(3)依据题设先等价转化,再构设函数运用运用导数的知识分析推证.

试题解析：

（1），令，得，

当时，，当时，，

则在内递减，在内递增，

所以当时，.

（2），，

当时，恒有，在区间内是增函数；

当时，令，即，解得，

令，即，解得，

综上，当时，在区间内是增函数，当时，在内单调递增，在内单调递减.

（3）证明：，要证明，即证，

等价于，令（由，知），

则只有证，由，知，故等价于（*）

<1>设，则，所以在内是增函数，当时，，所以，

<2>设，则，所以在内是增函数，所以当时，，即，

由<1><2>知（*）成立，所以.