Question

3．a，b为正实数，若函数f（x）=ax³+bx+ab-1是奇函数，则f（2）的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 由奇函数的性质和定义来建立等式，化简后根据条件用a表示b，代入解析式后求出f（2），再根据基本不等式求出最小值．

解答 解：因为f（x）=ax³+bx+ab-1是奇函数，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（-1）=-f（1）}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{ab-1=0}\\{-a-b=-（a+b）}\end{array}\right.$，
由a，b为正实数，所以b=$\frac{1}{a}$＞0，
所以f（x）=ax³+$\frac{1}{a}$x，
则f（2）=8a+$\frac{2}{a}$≥2 $\sqrt{8a•\frac{2}{a}}$=8（当且仅当8a=$\frac{2}{a}$，即a=$\frac{1}{2}$时取等号），
故选：C．

点评 本题考查奇函数的性质和定义，以及据基本不等式求最值问题，注意基本不等式的使用的条件．