【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求证:过点
有三条直线与曲线
相切;
(Ⅱ)当时,
,求实数
的取值范围.
【答案】(I)详见解析;(II).
【解析】试题分析:
(1)首先对函数求导,写出切线方程,讨论方程根的分布可得过点有三条直线与曲线
相切;
(2)利用题意构造函数,由新函数的性质可得实数
的取值范围是
.
试题解析:解法一:(Ⅰ)当时,
,
设直线与曲线相切,其切点为
,
则曲线在点
处的切线方程为:
,
因为切线过点,所以
,
即
,
∵,∴
,
设,
∵,
,
,
∴在三个区间
上至少各有一个根
又因为一元三次方程至多有三个根,所以方程恰有三个根,
故过点有三条直线与曲线
相切.
(Ⅱ)∵当时,
,即当
时,
∴当时,
,
设,则
,
设,则
.
(1)当时,∵
,∴
,从而
(当且仅当
时,等号成立)
∴在
上单调递增,
又∵,∴当
时,
,从而当
时,
,
∴在
上单调递减,又∵
,
从而当时,
,即
于是当时,
.
(2)当时,令
,得
,∴
,
故当时,
,
∴在
上单调递减,
又∵,∴当
时,
,
从而当时,
,
∴在
上单调递增,又∵
,
从而当时,
,即
于是当时,
,
综合得的取值范围为
.
解法二:(Ⅰ)当时,
,
,
设直线与曲线相切,其切点为
,
则曲线在点
处的切线方程为
,
因为切线过点,所以
,
即
,
∵,∴
设,则
,令
得
当变化时,
,
变化情况如下表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
∴恰有三个根,
故过点有三条直线与曲线
相切.
(Ⅱ)同解法一.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】
如图,⊙O内切于△ABC的边于D,E,F,AB=AC,连接AD交⊙O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.
(Ⅰ)求证:圆心O在直线AD上;
(Ⅱ)求证:点C是线段GD的中点.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为落实《课标》所倡导的课程理念,切实提高学生的综合素质,某校高二年级开设“趣味数学”、“趣味物理”、“趣味化学”3门任意选修课程,供年级300位文科生自由选择2门(不可多选或少选),选课情况如下表:
(Ⅰ)为了解学生选课情况,现采用分层抽样方法抽取了三科作业共50本,统计发现“趣味物理”有18本,试根据这一数据估计,
的值;
(Ⅱ)为方便开课,学校要求,
,计算
的概率.
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC1∥平面CDB1
(2)求证:AC⊥BC1
(3)求直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知向量 ,函数
,且
图象上一个最高点为
与
最近的一个最低点的坐标为
.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)设为常数,判断方程
在区间
上的解的个数;
(Ⅲ)在锐角中,若
,求
的取值范围.
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【题目】设函数f(x)=|x|,g(x)=lg(ax2﹣4x+1),若对任意x1∈R,都存在在x2∈R,使f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,4]
B.(0,4]
C.(﹣4,0]
D.[0,+∞)
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【题目】设函数 ,集合M={x|f(x)=0}={x1 , x2 , x3 , x4 , x5}N* , 设c1≥c2≥c3 , 则c1﹣c3=( )
A.6
B.8
C.2
D.4
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【题目】【2017衡阳第二次联考】已知四棱锥中,底面为矩形,
底面
,
,
,
为
上一点,
为
的中点.
(1)在图中作出平面与
的交点
,并指出点
所在位置(不要求给出理由);
(2)求平面将四棱锥
分成上下两部分的体积比.
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