Question

11．如图是函数$f（x）=Asin（2x+φ）（|φ|≤\frac{π}{2}）$图象的一部分，对不同的x₁，x₂∈[a，b]，若 f（x₁）=f（x₂），有$f（{x_1}+{x_2}）=\sqrt{3}$，则（　　）

• A． f（x）在$（-\frac{5π}{12}，\frac{π}{12}）$上是减函数
• B． f（x）在$（\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}）$上是减函数
• C． f（x）在$（-\frac{5π}{12}，\frac{π}{12}）$上是增函数
• D． f（x）在$（\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}）$上是减函数

Answer 1

分析 由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，求得a+b=$\frac{π}{2}$-φ，再根据f（a+b）=2sinφ=$f（{x_1}+{x_2}）=\sqrt{3}$，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性得出结论．

解答 解：由函数$f（x）=Asin（2x+φ）（|φ|≤\frac{π}{2}）$图象的一部分，可得A=2，函数的图象关于直线x=$\frac{a+b}{2}$=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$对称，∴a+b=x₁+x₂．
由五点法作图可得2a+φ=0，2b+φ=π，∴a+b=$\frac{π}{2}$-φ．
再根据f（a+b）=2sin（π-2φ+φ）=2sinφ=$f（{x_1}+{x_2}）=\sqrt{3}$，可得sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
在$（-\frac{5π}{12}，\frac{π}{12}）$上，2x+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），故f（x）在$（-\frac{5π}{12}，\frac{π}{12}）$上是增函数，
故选：C．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，正弦函数的单调性，属于中档题．