Question

12．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=xlnx在x=e处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是$\frac{e^2}{4}$．

Answer 1

分析 求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0，可得y轴、x轴的截距，由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：y=xlnx的导数为y′=1+lnx，
即有函数在x=e处的切线斜率为1+lne=2，
切点为（e，e），可得在x=e处的切线方程为y-e=2（x-e），
令x=0，即有y=-e；y=0，可得x=$\frac{1}{2}$e．
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积是S=$\frac{1}{2}$•e•$\frac{1}{2}$e=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{e^2}{4}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及三角形的面积的计算，正确求导和运用点斜式的直线方程是解题的关键，属于基础题．