Question

15．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=\sqrt{2}+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），M是C₁上的动点，P点满足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，P点的轨迹为曲线C₂．
（1）求C₂的方程；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=$\frac{π}{4}$与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求C₂的方程；
（2）求出射线θ=$\frac{π}{4}$与C₁的交点A的极径为ρ₁=2；与C₂的交点B的极径为ρ₂=4，即可得出结论．

解答 解：（1）设P（x，y），则由条件知M（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$），由于点M在C₁上，所以$\frac{x}{2}$=$\sqrt{2}cosα$，$\frac{y}{2}$=$\sqrt{2}+\sqrt{2}sinα$
从而C₂的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosα}\\{y=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数）-----6分
（2）曲线C₁的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}sinθ$，曲线C₂的极坐标方程为$ρ=4\sqrt{2}sinθ$
射线θ=$\frac{π}{4}$与C₁的交点A的极径为ρ₁=2
射线θ=$\frac{π}{4}$与C₂的交点B的极径为ρ₂=4
所以|AB|=|ρ₁-ρ₂|=2-----12分

点评 本题考查轨迹方程，考查极坐标方程的运用，属于中档题．