Question

12．已知圆C的圆心为（2，3），半径为1．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P（0，1）且斜率为k的直线l与圆C相交于A，B两点，若|AB|=2时，求斜率k的值．

Answer 1

分析 （1）根据圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）直线与圆的方程联立，利用韦达定理、弦长公式，结合|AB|=2时，求斜率k的值．

解答 解：（1）由题意可知（x-2）²+（y-3）²=1；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由（1）可知
联立方程得$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{（{x-2}）^2}+{（{y-3}）^2}=1\end{array}\right.$则有（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，△=-3k²+8k-3＞0
所以    ${x_1}+{x_2}=\frac{{4（{1+k}）}}{{1+{k^2}}}$①${x_1}•{x_2}=\frac{7}{{1+{k^2}}}$②
因为|AB|=2
所以$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=2$③
由①②③可得   k=1．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，韦达定理，弦长公式的应用，正确运用圆的性质是关键．